Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
O exercício pede para expandir a função
em torno do ponto
. O conteúdo aqui é série de Taylor para função inteira, então a gente já sabe que o raio de convergência será infinito.
Passo 2
Para simplificar, definimos
. Assim podemos escrever
.
Passo 3
Usando a fórmula de adição de cosseno:
Passo 4
Sabemos as séries de Maclaurin para
e
:
Substituindo essas séries na combinação acima, obtemos a expansão em torno de
Passo 5
Como
é uma função inteira, o raio de convergência desta série é
.