Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=cos z, z0=pi / 4

Passo 1

O exercício pede para expandir a função f(z)=cos z em torno do ponto z0=pi/4. O conteúdo aqui é série de Taylor para função inteira, então a gente já sabe que o raio de convergência será infinito.

Passo 2

Para simplificar, definimos w = z - pi4. Assim podemos escrever cos z = cosl(tfracpi4 + wr).

Passo 3

Usando a fórmula de adição de cosseno:
cosl(tfracpi4 + wr) = costfracpi4,cos w - sintfracpi4,sin w = raiz22cos w - raiz22sin w

Passo 4

Sabemos as séries de Maclaurin para cos w e sin w:
cos w = sumn=0^infty(-1)^nw^2n(2n)!,sin w = sumn=0^infty(-1)^nw^2n+1(2n+1)!
Substituindo essas séries na combinação acima, obtemos a expansão em torno de z0=pi/4:
cos z = raiz22sumn=0^infty(-1)^nl(w^2n(2n)! - w^2n+1(2n+1)!r), onde w = z - pi4.

Passo 5

Como cos z é uma função inteira, o raio de convergência desta série é R=infty.

Resposta

cos z = raiz22sumn=0^infty(-1)^nl((z-pi4)^2n(2n)!-(z-pi4)^2n+1(2n+1)!r), R=infty

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