Considere a equação diferencial
x y^prime prime-(x+n) y^prime+n y=0,
onde n Ă© um inteiro nĂŁo-negativo.
(a) Mostre que y1=e^x é solução da equação.
(b) Mostre que y2=C e^x integral x^n e^-x d x, C in R, é uma solução da equação dada e n=1 é linearmente independente.
© Estude os casos n=2 e .

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem
x y'' - (x+n)y' + ny = 0,
com inteiro não negativo n. Precisamos mostrar que y1=e^x é solução, obter uma segunda solução y2 por redução de ordem, provar independência linear e, por fim, examinar os casos n=1 e n=2.

Passo 2

Para (a), verificamos diretamente que y1=e^x satisfaz a equação. Calculamos
y1' = e^x,
y1'' = e^x
Substituindo:
x e^x - (x+n)e^x + n e^x = e^xigl(x - x - n + nr) = 0, 
logo y1=e^x é solução.

Passo 3

Para (b), primeiro escrevemos a equação na forma normal dividindo por x:
y'' - x+nxy' + nxy = 0
Denotamos P(x) = -tfracx+nx. Pela técnica de redução de ordem, assumimos y2 = u(x)e^x. A fórmula geral dá
u'(x) = e^-integral P(x)dx(e^x)^2
Como
integral P(x)dx = -integrall(1 + nxr)dx = -x - nln x,
temos
e^-integral Pdx = e^x+nln x = e^x x^n,
portanto
u'(x) = x^n e^-x,
e
u(x) = integral x^n e^-xdx
Logo
y2 = e^x integral x^n e^-xdx

Passo 4

Ainda em (b), mostramos independência linear calculando o Wronskiano:
W(y1,y2) = e^x & e^xintegral x^n e^-xdx e^x & ddxl[e^xintegral x^n e^-xdxr] = e^2x nu'(x) = e^2xx^n e^-x = x^n e^x neq 0
Portanto y1,y2 é linearmente independente.

Passo 5

No caso n=1, calculamos
integral x e^-xdx = -(x+1)e^-x + C,
então
y2 = e^xl[-(x+1)e^-xr] = -(x+1)
A solução geral fica
y = A e^x + B(x+1)

Passo 6

No caso n=2,
integral x^2 e^-xdx = -(x^2+2x+2)e^-x + C,
logo
y2 = e^xl[-(x^2+2x+2)e^-xr] = -(x^2+2x+2)
A solução geral é
y = A e^x + B(x^2+2x+2)

Resposta

A solução geral para inteiro não negativo n é
y = A e^x + B e^x integral^x t^n e^-t,dt,
e, em particular:
Para n=1:
y = A e^x + B(x+1),
Para n=2:
y = A e^x + B(x^2+2x+2)

Exercícios relacionados