Use as derivadas sucessivas para encontrar a série de Taylor de
em torno de
(potências de
).
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
, ou seja, expandir em potências de
. Vamos usar derivadas sucessivas até a 3ª ordem (já que
é polinomial de grau 3) e a fórmula padrão de Taylor.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
,
Derivadas de ordem maior que 3 são zero, pois tem grau 3.
Derivadas de ordem maior que 3 são zero, pois
Passo 3
Agora avaliamos todas elas em
:
Passo 4
Usando a fórmula de Taylor truncada em 3 ordens, temos
onde
Passo 5
Ficamos com
lembrando que