Use as derivadas sucessivas para encontrar a série de Taylor de f(x)=x^3-2 x^2-5 x-2 em torno de x0=-4 (potências de (x+4) ).

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=x^3-2x^2-5x-2 em torno de x0=-4, ou seja, expandir em potências de h=x+4. Vamos usar derivadas sucessivas até a 3ª ordem (já que f é polinomial de grau 3) e a fórmula padrão de Taylor.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de f:
f'(x)=3x^2-4x-5,
f''(x)=6x-4
f'''(x)=6
Derivadas de ordem maior que 3 são zero, pois f tem grau 3.

Passo 3

Agora avaliamos todas elas em x0=-4:
f(-4)=-4^3-2(-4)^2-5(-4)-2=-64-32+20-2=-78,
f'(-4)=3,16-4(-4)-5=48+16-5=59,
f''(-4)=6(-4)-4=-24-4=-28,
f'''(-4)=6

Passo 4

Usando a fórmula de Taylor truncada em 3 ordens, temos
f(x)=f(-4)+f'(-4),h+f''(-4)2!,h^2+f'''(-4)3!,h^3,
onde h=x+4. Substituindo os valores obtidos:

Passo 5

Ficamos com
f(x)=-78+59,h+-282,h^2+66,h^3=-78+59h-14h^2+h^3,
lembrando que h=x+4.

Resposta

f(x)=-78+59(x+4)-14(x+4)^2+(x+4)^3

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