Avalie a Integral:
5-integralraiz2^2 1t^3 raizt^2-1 d t

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão 5 - integralraiz2^2 1t^3raizt^2-1,dt. O conteúdo principal é a técnica de substituição trigonométrica para integrar funções do tipo t^-3(t^2-1)^-1/2. Vamos usar esses conceitos para resolver passo a passo.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica t = sectheta. Então dt = secthetatantheta,dtheta e raizt^2-1=tantheta. O integrando fica:
1t^3raizt^2-1,dt = 1sec^3theta,tanthetacdot(secthetatantheta,dtheta)=1sec^2theta,dtheta=cos^2theta,dtheta

Passo 3

Agora trocamos os limites:
Para t=raiz2 temos sectheta=raiz2 logo theta=pi/4.
Para t=2 temos sectheta=2 logo theta=pi/3.
Assim a integral original I=integralraiz2^2cdots,dt vira
I=integralpi/4^pi/3cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade cos^2theta=(1+cos2theta)/2 para calcular
integralcos^2theta,dtheta=integral1+cos2theta2,dtheta=theta2+sin2theta4+C
Aplicando os limites de pi/4 a pi/3 obtemos
I=gl(pi/32+sin(2pi/3)4gr)-gl(pi/42+sin(pi/2)4gr)=pi24+raiz3-28

Passo 5

Finalmente, substituímos em 5-I e simplificamos:
5-l(pi24+raiz3-28r)=5-pi24-raiz38+28=126-pi-3raiz324

Resposta

126-pi-3raiz324

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