Simplifique e fatore o máximo possível as expressões abaixo.
raiz12 x^5+12 x^3+3 x4 x^4+4 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e fatorar ao máximo a expressão dfracraiz12x^5+12x^3+3x4x^4+4x^2+1. O conteúdo envolvido é manipulação de radicais, fatoração de polinômios e simplificação de frações algébricas. Vamos usar propriedades da raiz quadrada e reconhecimento de quadrados perfeitos.

Passo 2

Observamos que dentro da raiz há um fator comum 3x:
12x^5+12x^3+3x = 3x,(4x^4+4x^2+1)
Logo,
raiz12x^5+12x^3+3x = raiz3x;raiz4x^4+4x^2+1

Passo 3

Repare que o polinômio 4x^4+4x^2+1 é o quadrado de (2x^2+1), pois
(2x^2+1)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 1
Então
raiz4x^4+4x^2+1 = l|2x^2+1r|

Passo 4

Como 2x^2+1>0 para todo x real, temos lvert2x^2+1rvert = 2x^2+1. Além disso, para a raiz raiz3x ser real precisamos de x>=0. Assim o numerador vira
raiz12x^5+12x^3+3x = (2x^2+1)raiz3x

Passo 5

Substituindo no quociente e cancelando o fator (2x^2+1) entre numerador e denominador, obtemos
(2x^2+1)raiz3x(2x^2+1)^2 = raiz3x2x^2+1

Resposta

raiz3x2x^2+1

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