Avalie a integral
integral0^pi / 2|sin (x)-cos (2 x)| d x
Interprete essa integral como a área de uma região e faça um esboço dessa região.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi/2 l|sin(x) - cos(2x)r|,dx
que podemos interpretar como a área da região entre as curvas y=sin(x) e y=cos(2x) no intervalo 0<= x<=pi/2. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar onde sin(x)-cos(2x)=0 para dividir o intervalo.
  2. Determinar em quais subintervalos o integrando é positivo ou negativo.
  3. Calcular as integrais sem valor absoluto em cada parte e somar em valor absoluto.
  4. Fazer o esboço da região entre as duas curvas.

Passo 2

Vamos resolver
sin(x)=cos(2x)
Usando cos(2x)=1-2sin^2(x), obtemos
sin(x)=1-2sin^2(x) ;Longrightarrow; 2sin^2(x)+sin(x)-1=0
Chamando sin(x)=u, isso dá
2u^2+u-1=0 ;Longrightarrow; u=-1pmraiz1+84=-1pm34
As soluções são u=1/2 ou u=-1; como sin(x)in[0,1], ficamos com sin(x)=1/2, ou seja
x=pi6
no intervalo [0,pi/2].

Passo 3

Agora determinamos o sinal de sin(x)-cos(2x) em cada subintervalo:
  • Para 0<x<pi/6, escolha x=0: sin0-cos0=0-1=-1<0.
  • Para pi/6<x<pi/2, escolha x=pi/4:
    sin(pi/4)-cos(pi/2)=tfracraiz32-0>0.
    Logo
|sin(x)-cos(2x)| = cos(2x)-sin(x),&0<= x<=pi/6, sin(x)-cos(2x),&pi/6<= x<=pi/2

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de duas:
integral0^pi/2|sin x - cos2x|,dx = integral0^pi/6l(cos2x - sin xr),dx + integralpi/6^pi/2l(sin x - cos2xr),dx

Passo 5

Calculando a primeira parte, note que
integralcos(2x),dx=tfrac12sin(2x), integralsin(x),dx=-cos(x)
Então
integral0^pi/6l(cos2x-sin xr),dx = l[tfrac12sin(2x)+cos(x)r]0^pi/6 = l(tfrac12sin(tfracpi3)+cos(tfracpi6)r)-l(0+1r)
Como sin(pi/3)=tfracraiz32 e cos(pi/6)=tfracraiz32, isso vale
12cdotraiz32+raiz32-1 =raiz34+2raiz34-1 =3raiz34-1

Passo 6

Para a segunda parte, um antiderivado de sin x-cos2x é
-cos(x)-tfrac12sin(2x),
pois sua derivada é sin x-cos2x. Logo
integralpi/6^pi/2l(sin x-cos2xr),dx = l[-cos(x)-tfrac12sin(2x)r]pi/6^pi/2 = l(0-0r)-l(-tfracraiz32-tfrac12sin(tfracpi3)r) = 3raiz34

Passo 7

Somando as duas partes:
integral0^pi/2|sin x-cos2x|,dx =l(tfrac3raiz34-1r)+3raiz34 =6raiz34-1 =3raiz32-1

Passo 8

Interpretação geométrica e esboço: é a área entre as curvas
y=sin(x) e y=cos(2x)
no intervalo 0<= x<=pi/2. Elas se cruzam em x=pi/6. Para 0<= x<=pi/6, cos(2x) está acima de sin(x); para pi/6<= x<=pi/2, sin(x) está acima de cos(2x). A integral do valor absoluto soma essas duas áreas.
Esboço (aproximado):
– Curva azul: y=sin(x) subindo de 0 até 1.
– Curva vermelha: y=cos(2x) descendo de 1 até -1.
– Ponto de interseção: (pi/6,raiz3/2).
– Região sombreada entre as curvas, trocando de “quem está em cima” em x=pi/6.

Resposta

integral0^pi/2|sin(x)-cos(2x)|,dx = 3raiz32-1

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