Utilize o T.V.I. para mostrar que:
a equação 2^x+3=4 x tem pelo menos duas soluções reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação
2^x + 3 = 4x
possui pelo menos duas soluções reais. O que vamos fazer é definir uma função contínua cuzas raízes correspondem às soluções dessa equação e, em seguida, encontrar dois intervalos onde ela muda de sinal.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 2^x + 3 - 4x
Como 2^x é contínua em R e 3 e -4x também são funções contínuas, f é contínua em R. Assim podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.

Passo 3

Calculamos
f(1) = 2^1 + 3 - 4cdot1 = 2 + 3 - 4 = 1 > 0,
f(2) = 2^2 + 3 - 4cdot2 = 4 + 3 - 8 = -1 < 0
Como f(1)>0 e f(2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c1in(1,2) tal que
f(c1) = 0

Passo 4

Em seguida, calculamos
f(3) = 2^3 + 3 - 4cdot3 = 8 + 3 - 12 = -1 < 0,
f(4) = 2^4 + 3 - 4cdot4 = 16 + 3 - 16 = 3 > 0
Como f(3)<0 e f(4)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c2in(3,4) tal que
f(c2) = 0

Passo 5

Encontramos, portanto, duas raízes distintas c1in(1,2) e c2in(3,4), o que mostra que a equação 2^x+3=4x tem pelo menos duas soluções reais.

Resposta

A equação possui pelo menos duas soluções reais, uma em (1,2) e outra em (3,4).

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