Dado o campo vetorial F=-y i+x j, determine integralC F cdot d r ao longo da curva C :
(1,0) C: r(t)=lang<= e^2 t, e^-trang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

A gente tem o campo vetorial F(x,y) = -y,i + x,j e a curva C parametrizada por r(t) = lang<= e^2t, e^-trang<=, com 0 <= t <= 1. O objetivo é calcular integralC Fcdot dr usando parametrização.

Passo 2

Derivamos r(t): r'(t) = lang<= 2e^2t, -e^-trang<=. Então o elemento diferencial é dr = lang<= 2e^2t, -e^-trang<=,dt. Substituímos r(t) em F: como x=e^2t e y=e^-t, temos F(r(t)) = lang<= -e^-t, e^2trang<=.

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
F(r(t))cdot r'(t) = (-e^-t)(2e^2t) + (e^2t)(-e^-t) = -2e^t - e^t = -3e^t
Agora montamos a integral em t:
integralC Fcdot dr = integral0^1 (-3e^t),dt = l[-3e^tr]0^1 = -3e + 3

Resposta

-3(e - 1)

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