Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
f(x)=e^x3 ; c=1 ; n=7

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=7 em torno de c=1 para a função
f(x)=e^x3
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Taylor:
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(c)k!(x-c)^k,
onde f^(k)(c) é a k-ésima derivada de f avaliada em c.

Passo 2

Vamos calcular a k-ésima derivada de f. Como
f(x)=e^x3,
temos por recorrência
f'(x)=13e^x3, f''(x)=13cdot13e^x3,;dots;,; f^(k)(x)=l(13r)^ke^x3
Logo, em x=1 fica
f^(k)(1)=l(13r)^ke^13

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor com c=1 e n=7:
T7(x) =sumk=0^7f^(k)(1)k!(x-1)^k =sumk=0^7l(13r)^ke^13k!(x-1)^k
Podemos fatorar e^13, ficando
T7(x) =e^13sumk=0^713^k,k!(x-1)^k

Passo 4

Para deixar bem explícito, escrevemos os primeiros termos:
T7(x) =e^13l[ 1 +x-13 +(x-1)^23^2,2! +(x-1)^33^3,3! +cdots +(x-1)^73^7,7! r]

Resposta

T7(x) =e^tfrac13sumk=0^7(x-1)^k3^k,k! = e^tfrac13l[ 1 +tfracx-13 +tfrac(x-1)^23^2,2! +tfrac(x-1)^33^3,3! +tfrac(x-1)^43^4,4! +tfrac(x-1)^53^5,5! +tfrac(x-1)^63^6,6! +tfrac(x-1)^73^7,7! r]

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