Dado o campo vetorial F=-y i+x j, determine integralC F cdot d r ao longo da curva C :
(1,0) C : caminho dado pela circunferência de raio 2 e centro na origem, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos o campo vetorial F = -y i + x j e queremos calcular a integral de linha integralC F cdot dr ao longo da circunferência de raio 2, centro na origem, no sentido anti-horário. O conteúdo principal é o teorema de Green e integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Como o campo não é conservativo (pois partial P/partial y = -1 neq 1 = partial Q/partial x), vamos usar o teorema de Green, que afirma:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(tfracpartial Qpartial x - tfracpartial Ppartial yr),dA
Essa fórmula troca a integral de linha por uma integral dupla sobre a região D.

Passo 3

Identificamos em F = Pi + Qj que P = -y e Q = x. Então calculamos:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = -1
Logo, o integrando é 1 - (-1) = 2.

Passo 4

Agora a integral dupla fica:
integral duplaD 2,dA = 2 integral duplaD dA = 2 cdot área(D) á
Como D é o disco de raio 2, sua área é pi cdot 2^2 = 4pi.

Passo 5

Multiplicando, obtemos:
2 cdot 4pi = 8pi
Portanto, a integral de linha é 8pi.

Resposta

8pi

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