Dado o campo vetorial
, determine
ao longo da curva
:
: caminho dado pela circunferência de raio 2 e centro na origem, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos o campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha
ao longo da circunferência de raio 2, centro na origem, no sentido anti-horário. O conteúdo principal é o teorema de Green e integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Como o campo não é conservativo (pois
), vamos usar o teorema de Green, que afirma:
Essa fórmula troca a integral de linha por uma integral dupla sobre a região D.
Passo 3
Identificamos em
que
e
. Então calculamos:
Logo, o integrando é
.
Passo 4
Agora a integral dupla fica:
Como D é o disco de raio 2, sua área é
.
Passo 5
Multiplicando, obtemos:
Portanto, a integral de linha é
.