Avalie a integral integral sen(x)x d x como uma série infinita.
Sugestão: Multiplique a série de Maclaurin sen(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)! por 1x e integre termo a termo.

Passo 1

A gente precisa expressar a integral integral sin(x)x,dx como uma série infinita. O conteúdo aqui é série de Maclaurin e integração termo a termo usando regras de potência.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin(x) é dada por:
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Dividindo pelo x, obtemos a expansão de sin(x)/x:
sin(x)x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n+1)!

Passo 4

Como essa série converge para todo x, podemos trocar soma e integral e usar integral x^k,dx=tfracx^k+1k+1+C. Integramos termo a termo:
integralsin(x)x,dx=sumn=0^infty(-1)^nintegralx^2n(2n+1)!,dx=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)(2n+1)!+C

Resposta

integralsin(x)x,dx=C+sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)!

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