Usando o resultado 10 , determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta
da região situada entre os gráficos de
e
.
Passo 1
A gente tem a região limitada por y = x² – x + 1 (função de cima) e y = 2x² – 4x + 3 (função de baixo) entre os pontos de interseção x = 1 e x = 2; o enunciado diz “usando o resultado 10”, que era a área A dessa região, e agora a gente vai girar em torno de y = 1 para achar o volume. Para usar o Teorema de Pappus, a gente precisa da área A (que é 10) e do deslocamento do centróide vertical d = |ȳ – 1|. Primeiro, vamos achar ȳ, a ordenada do centróide.
Passo 2
A fórmula de ȳ para uma região entre duas curvas é
onde f(x)=x²–x+1 e g(x)=2x²–4x+3. Calculemos o integrando: f(x)² = x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 2x + 1 e g(x)² = 4x^4 – 16x^3 + 28x^2 – 24x + 9. Então
Logo,
Passo 3
Portanto o momento
vale 14/15. Como A = 10, temos
Então a distância ao eixo y=1 é
Passo 4
Pelo Teorema de Pappus, o volume é