Usando o resultado 10 , determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=1 da região situada entre os gráficos de y=x^2-x+1 e y=2 x^2-4 x+3.

Passo 1

A gente tem a região limitada por y = x² – x + 1 (função de cima) e y = 2x² – 4x + 3 (função de baixo) entre os pontos de interseção x = 1 e x = 2; o enunciado diz “usando o resultado 10”, que era a área A dessa região, e agora a gente vai girar em torno de y = 1 para achar o volume. Para usar o Teorema de Pappus, a gente precisa da área A (que é 10) e do deslocamento do centróide vertical d = |ȳ – 1|. Primeiro, vamos achar ȳ, a ordenada do centróide.

Passo 2

A fórmula de ȳ para uma região entre duas curvas é
ȳ = 1A integral duplaR y,dA = 1A integralx=1^2 l[(f(x))^2 - (g(x))^22r]dx ȳ
onde f(x)=x²–x+1 e g(x)=2x²–4x+3. Calculemos o integrando: f(x)² = x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 2x + 1 e g(x)² = 4x^4 – 16x^3 + 28x^2 – 24x + 9. Então
f(x)^2 - g(x)^2 = -3x^4 + 14x^3 -25x^2 +22x -8
Logo,
integral1^2 f(x)^2 - g(x)^22 dx = 12 integral1^2 (-3x^4 + 14x^3 -25x^2 +22x -8) dx = 1415

Passo 3

Portanto o momento integral duplaR y,dA vale 14/15. Como A = 10, temos
ȳ = 14/1510 = 775 ȳ
Então a distância ao eixo y=1 é
d = |ȳ - 1| = 1 - 775 = 6875 ȳ

Passo 4

Pelo Teorema de Pappus, o volume é
V = 2π cdot d cdot A = 2π cdot 6875 cdot 10 = 272π15

Resposta

272π15

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