Seja uma curva gamma:=(x(t), y(t)): a <= t <= b.
(i) Mostre que em termos do parâmetro t a área da superfície de revolução obtida pela rotação da curva gamma em torno do eixo x é dada por
Sgamma=integrala^b 2 pi y(t) raiz[x^prime(t)]^2+[y^prime(t)]^2 d t
(Analogamente, a área da superfície de revolução obtida pela rotação da curva gamma em torno do eixo y é dada por x ).
(ii) Use (*) para calcular a área da região obtida pela rotação em torno do eixo x(t)=h cos t, y(t)=r da curva parametrizada por 0 <= t <= pi2, com h ( r e constantes positivas).
(iii) Obtenha o mesmo valor usando apenas geometria elementar. (Sugestão: O que é a curva?)

Passo 1

O enunciado define uma curva parametrizada gamma=(x(t),y(t)):a<= t<= b e pede: (i) mostrar a fórmula da área de superfície de revolução em torno do eixo x; (ii) aplicar essa fórmula à curva x(t)=hcos t, y(t)=r, tin[0,pi/2]; (iii) obter o mesmo resultado por geometria elementar. O conteúdo da matéria é cálculo de áreas de superfície de revolução, que exige aproximar por troncos de cone e depois integrar.

Passo 2

Para derivar a fórmula em termos de t, dividimos o intervalo [a,b] em subintervalos [ti,ti+1]. Em cada subintervalo a curva é aproximada por um segmento de reta que, ao girar em torno do eixo x, gera um tronco de cone de geratriz De e raio médio y(ti). A área lateral de cada tronco é De. Somando e passando ao limite quando maxDe
Sgamma=integrala^b2pi,y(t)raiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2,dt

Passo 3

No caso específico temos x(t)=hcos t e y(t)=r. Logo
x'(t)=-hsin t, y'(t)=0,raiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2=hsin t (pois sin t>=0 em [0,pi/2])

Passo 4

Substituindo em
Sgamma=integral0^pi/22pi,r,(hsin t),dt=2pi r hintegral0^pi/2sin t,dt=2pi r h[-cos t]0^pi/2=2pi r h

Passo 5

Geometricamente, a curva é um segmento horizontal de comprimento h à altura r. Sua rotação em torno do eixo x forma um cilindro de raio r e altura h, cuja área lateral é
2pi rcdot h

Resposta

2\pi r h

Exercícios relacionados