Seja uma curva
.
(i) Mostre que em termos do parâmetro
a área da superfície de revolução obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
é dada por
(Analogamente, a área da superfície de revolução obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
é dada por
).
(ii) Use (*) para calcular a área da região obtida pela rotação em torno do eixo
da curva parametrizada por
, com
(
e
constantes positivas).
(iii) Obtenha o mesmo valor usando apenas geometria elementar. (Sugestão: O que é a curva?)
(i) Mostre que em termos do parâmetro
(ii) Use (*) para calcular a área da região obtida pela rotação em torno do eixo
(iii) Obtenha o mesmo valor usando apenas geometria elementar. (Sugestão: O que é a curva?)
Passo 1
O enunciado define uma curva parametrizada
e pede: (i) mostrar a fórmula da área de superfície de revolução em torno do eixo
; (ii) aplicar essa fórmula à curva
; (iii) obter o mesmo resultado por geometria elementar. O conteúdo da matéria é cálculo de áreas de superfície de revolução, que exige aproximar por troncos de cone e depois integrar.
Passo 2
Para derivar a fórmula em termos de
, dividimos o intervalo
em subintervalos
. Em cada subintervalo a curva é aproximada por um segmento de reta que, ao girar em torno do eixo
, gera um tronco de cone de geratriz
e raio médio
. A área lateral de cada tronco é
. Somando e passando ao limite quando
dá
Passo 3
No caso específico temos
e
. Logo
Passo 4
Substituindo em
Passo 5
Geometricamente, a curva é um segmento horizontal de comprimento
à altura
. Sua rotação em torno do eixo
forma um cilindro de raio
e altura
, cuja área lateral é
Resposta
2\pi r h