Encontre a serie de Maclaurin da função
e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^{−x/2}, ou seja, a expansão em torno de x=0, usando a teoria de séries de Taylor e a série conhecida de e^u.
Passo 2
Lembrando que para g(u)=e^u a série de Maclaurin é g(u)=\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{un}{n!}. Aqui vamos usar u=−x/2.
Passo 3
Substituindo u=−x/2 na série de e^u obtemos f(x)=e{−x/2}=\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{(−x/2)n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}{\infty}\frac{(−1)n}{2n n!}x^n.
Passo 4
Para determinar o raio de convergência aplicamos o teste da razão: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{2(n+1)}=0<1 para todo x, portanto o raio de convergência é infinito.
Resposta
\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(−1)n}{2^n n!}x^n,\quad R=\infty