Encontre a serie de Maclaurin da função
e determine o seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin de
e determinar seu raio de convergência. Vamos usar séries de Taylor/Maclaurin e uma identidade trigonométrica.
Passo 2
Aplicar a identidade
para reescrever a função em termos de
.
Passo 3
Lembrar que a série de Maclaurin de
é
então substituindo
Passo 4
Inserir essa série na identidade e multiplicar por
, resultando em
Passo 5
Como a série de
converge para todo
, concluímos que o raio de convergência da série de
é
.
Resposta
[\n\cos2(x)=\frac12+\frac12\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{(2x){2n}}{(2n)!}\n]\nO raio de convergência é
.