Encontre a serie de Maclaurin da função f(x) e determine o seu raio de convergência:
f(x)=[cos (x)]^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin de f(x)=cos^2(x) e determinar seu raio de convergência. Vamos usar séries de Taylor/Maclaurin e uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Aplicar a identidade cos^2(x)=1+cos(2x)2 para reescrever a função em termos de cos(2x).

Passo 3

Lembrar que a série de Maclaurin de cos(t) é
cos(t)=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!,
então substituindo t=2x obtemos
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!

Passo 4

Inserir essa série na identidade e multiplicar por tfrac12, resultando em
cos^2(x)=12+12sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!

Passo 5

Como a série de cos(2x) converge para todo x, concluímos que o raio de convergência da série de cos^2(x) é R=infty.

Resposta

[\n\cos2(x)=\frac12+\frac12\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{(2x){2n}}{(2n)!}\n]\nO raio de convergência é R=infty.

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