(2,0) Avalie a integral como uma série infnita, exibindo os cinco primeiros termos.
integral0^1 cos (2 x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
integral0^1 cosl(2x^2r),dx
como uma série infinita, exibindo os cinco primeiros termos.
Conteúdo: desenvolver a função em série de Taylor e integrar termo a termo.

Passo 2

A expansão em série de Taylor de cos z em torno de z=0 é
cos z ;=;sumn=0^infty(-1)^n,z^2n(2n)!,

Passo 3

Substituindo z=2x^2 obtemos
cosl(2x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,(2x^2)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,2^2n,x^4n(2n)!,

Passo 4

Integramos de 0 a 1 termo a termo, usando integral0^1x^4ndx=1/(4n+1):
integral0^1cosl(2x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,2^2n(2n)!,(4n+1),

Passo 5

Calculamos os cinco primeiros termos ( n=0,1,2,3,4):
n =0: 2^00!,(1)=1.
n =1: -2^22!,(5)=-410=-25.
n =2: 2^44!,(9)=1624cdot9=227.
n =3: -2^66!,(13)=-64720cdot13=-4585.
n =4: 2^88!,(17)=25640320cdot17=25355.

Resposta

integral0^1cosl(2x^2r),dx =1-25+227-4585+25355+dots

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