As membranas biológicas são partes essenciais em todos os organismos. São essencialmente formadas por uma bicamada fosfolipídica incorporada com proteínas; que estão presentes em células biológicas, assim com em diferentes organelas. As membranas têm diferentes funções, dentre elas: isola a célula, serve como limite entre os espaços intra e extracelulares, é útil como transporte ativo, faz o encapsulamento de substâncias e a estabilidade da própria célula.
A análise química e estudos biológicos permitiram conhecer a composição química, bem como certas funções características biológicas das membranas. A análise das propriedades físicas permitem entender a elasticidade das membranas, um fenômeno que está diretamente relacionado com a endocitose e a exocitose.
Para estudarmos a elasticidade de uma membrana, precisamos conhecer a geometria de uma membrana. Para isto, suponhamos que uma membrana seja dada pelo gráfico de uma função de duas variáveis, f(x, y); a grosso modo estamos dizendo que podemos cobrir toda a membrana com o gráfico desta função. Denotando uma membrana por M, temos:
M=(x, y, f(x, y)): (x, y) in Omega
Se f(x, y) é uma função diferenciável e Omega é um conjunto limitado, então a energia livre por unidade de área de uma membrana M, é dada pelo seguinte modelo matemático:
E=[2 alpha H^2+beta K],
onde
H=12 cdot [1+partial^2 fpartial y^2]^2 partial^2 fpartial x^2-2 partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial y^2 partial^2 fpartial x partial y+[1+partial^2 fpartial x^2]^2 partial^2 fpartial y^2[(partial fpartial x)^2+(partial fpartial y)^2+1]^32 K=partial^2 fpartial x^2 cdot partial^2 fpartial y^2-(partial^2 fpartial x partial y)^2[(partial fpartial x)^2+(partial fpartial y)^2+1]^2
onde alpha e beta são constante, que em outro momento merecem ser estudadas.
Considere uma membrana M dada por:
Suponhamos que uma membrana M, é dada pelo conjunto:
M=(x, y, x^2+y^2): 1 <= x <= 2 e 2 <= y <= 3
Determine a energia livre da membrana.

Passo 1

O enunciado dá uma membrana M como gráfico da função
f(x,y)=x^2+y^2
sobre o domínio
Omega=(x,y)mid 1<= x<= 2, 2<= y<= 3
A energia livre por unidade de área é dada pelo modelo
E=2alpha H^2+beta K,
onde H é a curvatura média e K é a curvatura gaussiana da superfície.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx=2x, fy=2y, fxx=2, fyy=2, fxy=0

Passo 3

Usamos as fórmulas de Monge para curvaturas:
H=(1+fy^2),fxx-2,fxfy,fxy+(1+fx^2),fyy 2l(1+fx^2+fy^2r)^3/2, K=fxxfyy-fxy^2l(1+fx^2+fy^2r)^2

Passo 4

Substituindo fx=2x, fy=2y, fxx=2, fyy=2, fxy=0 e usando r^2=x^2+y^2, obtemos
H=2(1+4y^2)+2(1+4x^2)2,(1+4x^2+4y^2)^3/2 =2l(1+2r^2r)l(1+4r^2r)^3/2,
K=2cdot2-0(1+4x^2+4y^2)^2 =4l(1+4r^2r)^2

Passo 5

Finalmente, na fórmula
E=2alpha H^2+beta K
substituímos H e K e simplificamos:
E(x,y) =2alpha[2(1+2r^2)(1+4r^2)^3/2]^2 +beta4(1+4r^2)^2 =8alpha,(1+2r^2)^2(1+4r^2)^3 +4beta(1+4r^2)^2,
onde r^2=x^2+y^2.

Resposta

boxedE(x,y) =8alphal(1+2(x^2+y^2)r)^2l(1+4(x^2+y^2)r)^3 +4betal(1+4(x^2+y^2)r)^2

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