As membranas biológicas são partes essenciais em todos os organismos. São essencialmente formadas por uma bicamada fosfolipídica incorporada com proteínas; que estão presentes em células biológicas, assim com em diferentes organelas. As membranas têm diferentes funções, dentre elas: isola a célula, serve como limite entre os espaços intra e extracelulares, é útil como transporte ativo, faz o encapsulamento de substâncias e a estabilidade da própria célula.
A análise química e estudos biológicos permitiram conhecer a composição química, bem como certas funções características biológicas das membranas. A análise das propriedades físicas permitem entender a elasticidade das membranas, um fenômeno que está diretamente relacionado com a endocitose e a exocitose.
Para estudarmos a elasticidade de uma membrana, precisamos conhecer a geometria de uma membrana. Para isto, suponhamos que uma membrana seja dada pelo gráfico de uma função de duas variáveis,
; a grosso modo estamos dizendo que podemos cobrir toda a membrana com o gráfico desta função. Denotando uma membrana por
, temos:
Se
é uma função diferenciável e
é um conjunto limitado, então a energia livre por unidade de área de uma membrana
, é dada pelo seguinte modelo matemático:
onde
onde
e
são constante, que em outro momento merecem ser estudadas.
Considere uma membrana
dada por:
Suponhamos que uma membrana
, é dada pelo conjunto:
Determine a energia livre da membrana.
Considere uma membrana
Suponhamos que uma membrana
Passo 1
O enunciado dá uma membrana
como gráfico da função
sobre o domínio
A energia livre por unidade de área é dada pelo modelo
onde
é a curvatura média e
é a curvatura gaussiana da superfície.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Usamos as fórmulas de Monge para curvaturas:
Passo 4
Substituindo
,
,
,
,
e usando
, obtemos
Passo 5
Finalmente, na fórmula
substituímos
e
e simplificamos:
onde
.