Avalie:
integral sin 3 x cos x d x (-14(cos 2 x+12 cos 4 x)+C )

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin3xcos x,dx. O conteúdo envolvido é integrais de funções trigonométricas, e vamos usar identidades de produto para soma para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade de produto para soma
sin Acos B=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
onde aqui A=3x e B=x.

Passo 3

Aplicando a identidade obtemos
sin3xcos x = tfrac12l[sin(3x+x)+sin(3x-x)r]=tfrac12(sin4x+sin2x)

Passo 4

Substituindo na integral temos
integral sin3xcos x,dx = integral tfrac12(sin4x+sin2x),dx = tfrac12integralsin4x,dx + tfrac12integralsin2x,dx

Passo 5

Agora integramos cada termo separadamente:
integral sin4x,dx = -tfrac14cos4x, integral sin2x,dx = -tfrac12cos2x

Passo 6

Multiplicando pelos fatores externos:
tfrac12l(-tfrac14cos4xr) = -tfrac18cos4x, tfrac12l(-tfrac12cos2xr) = -tfrac14cos2x

Passo 7

Somando os resultados e incluindo a constante de integração:
-tfrac18cos4x - tfrac14cos2x + C

Passo 8

Fatorando -tfrac14 para escrever de forma compacta:
-tfrac14l(cos2x + tfrac12cos4xr) + C

Resposta

-\tfrac14\bigl(\cos2x+\tfrac12\cos4x\bigr)+C

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