Resolva a seguinte integral:
integral x e^x(1+x)^2 d x (e^x1+x+C)

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integral x e^x(1+x)^2,dx. O conteúdo principal é reconhecimento de derivada de um quociente e usaremos a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Vamos observar que se definirmos a função f(x) = e^x1+x, podemos usar a regra do quociente para derivadas: l(tfracuvr)' = u'v - uv'v^2. Aqui escolhemos u(x)=e^x e v(x)=1+x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente temos
ddxgl(e^x1+xgr) = (e^x)(1+x) - (e^x)(1)(1+x)^2 = x e^x(1+x)^2
Isso mostra que o integrando é exatamente essa derivada.

Passo 4

Como a derivada de tfrace^x1+x coincide com o integrando, concluímos que
integral x e^x(1+x)^2,dx = e^x1+x + C

Resposta

e^x1+x + C

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