Calcule as seguintes integrais:
b)
( )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica integral sin^3 x cdot cos^2 x ,dx. Isso faz parte do conteúdo de integração de funções trigonométricas, e vamos usar redenção de potências e substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos separar sin^3 x em sin^2 x cdot sin x e usar a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x. Assim,
sin^3 x cdot cos^2 x = (1 - cos^2 x),cos^2 x,sin x
E a integral fica
integral sin^3 x cos^2 x ,dx = integral (1 - cos^2 x),cos^2 x,sin x ,dx
Agora fazemos a substituição u = cos x, de modo que du = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -du. Substituindo na integral, obtemos
integral (1 - u^2),u^2,(-du) = integral (-u^2 + u^4),du
Integramos termo a termo um polinômio em u:
integral (-u^2 + u^4),du = -u^33 + u^55 + C
Por fim, voltamos para a variável original x, lembrando que u = cos x. Assim, a antiderivada é
-cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

Resposta

-\tfrac{1}{3}\cos^3 x + \tfrac{1}{5}\cos^5 x + C

Exercícios relacionados