Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital:
a) lim x -1 4 x^3+x^2+3x^5+1
b) lim x 1 x^100-x^2+x-1x^10-1
c) lim x infty e^3 xx^2
d) lim x 0 sen(2 x)7 x
e) lim x infty ln (x)e^3 x
f) lim x 1 x^4-2 x^3+2 x-1x^2-2 x+1
g) lim x 0 x-tg(x)x^3

Passo 1

O exercício pede para calcular, usando a regra de L’Hôpital, os seguintes limites: a) limxto -14x^3+x^2+3x^5+1, b) limxto 1x^100-x^2+x-1x^10-1, c) limxto+inftye^3xx^2, d) limxto0sin(2x)7x, e) limxto+inftyln(x)e^3x, f) limxto1x^4-2x^3+2x-1x^2-2x+1 e g) limxto0x-tan(x)x^3. Vamos identificar indeterminações do tipo 0/0 ou infty/infty e, quando necessário, derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Para a letra a), ao substituir x=-1 temos numerador 4(-1)^3+(-1)^2+3=0 e denominador (-1)^5+1=0, isto é, forma 0/0. Aplicando L’Hôpital: derivamos numerador e denominador
numerador’ = 12x^2+2x
denominador’ = 5x^4
Avaliando em x=-1: numerador’ = 10, denominador’ = 5. Logo o limite é 105=2.

Passo 3

Para a letra b), em x=1 numerador e denominador valem zero (forma 0/0). Derivando:
numerador’ = 100x^99-2x+1
denominador’ = 10x^9
Em x=1: numerador’ = 99, denominador’ = 10. Logo 9910.

Passo 4

Para c), ao levar xto+infty temos forma infty/infty. Aplicamos L’Hôpital:
1ª: 3e^3x2x ainda infty/infty.
2ª: 9e^3x2 que tende a +infty.

Passo 5

No item d), em xto0 é 0/0. Derivando:
numerador’ = 2cos(2x)
denominador’ = 7
Avalia em x=0: 2cdot1/7=2/7.

Passo 6

No item e), em xto+infty temos infty/infty. Derivando:
1/x3e^3x=13x e^3x, que tende a 0.

Passo 7

Para f), em x=1 obtemos 0/0. 1ª derivada:
numerador’ = 4x^3-6x^2+2
denominador’ = 2x-2
Em x=1 0/0, aplicamos L’Hôpital outra vez:
numerador’’ = 12x^2-12x
denominador’’ = 2
Em x=1: numerador’’ = 0, denom’’ = 2. Logo o limite é 0.

Passo 8

Em g), em xto0 temos 0/0. Aplicamos L’Hôpital três vezes até eliminar a indeterminação, obtendo no último quociente -4sec^2xtan^2x-2sec^4x6. Avaliando em x=0: numerador = -2, denominador = 6, portanto limite = -\tfrac{1}{3}.

Resposta

a) 2; b) tfrac9910; c) +infty; d) tfrac27; e) 0; f) 0; g) -tfrac13

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