Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
O exercício pede para calcular, usando a regra de L’Hôpital, os seguintes limites: a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, f)
e g)
. Vamos identificar indeterminações do tipo
ou
e, quando necessário, derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.
Passo 2
Para a letra a), ao substituir
temos numerador
e denominador
, isto é, forma
. Aplicando L’Hôpital: derivamos numerador e denominador
numerador’ =
denominador’ =
Avaliando em : numerador’ = 10, denominador’ = 5. Logo o limite é
.
numerador’ =
denominador’ =
Avaliando em
Passo 3
Para a letra b), em
numerador e denominador valem zero (forma
). Derivando:
numerador’ =
denominador’ =
Em : numerador’ = 99, denominador’ = 10. Logo
.
numerador’ =
denominador’ =
Em
Passo 4
Para c), ao levar
temos forma
. Aplicamos L’Hôpital:
1ª: ainda
.
2ª: que tende a
.
1ª:
2ª:
Passo 5
No item d), em
é
. Derivando:
numerador’ =
denominador’ = 7
Avalia em :
.
numerador’ =
denominador’ = 7
Avalia em
Passo 6
No item e), em
temos
. Derivando:
, que tende a 0.
Passo 7
Para f), em
obtemos
. 1ª derivada:
numerador’ =
denominador’ =
Em dá
, aplicamos L’Hôpital outra vez:
numerador’’ =
denominador’’ = 2
Em : numerador’’ = 0, denom’’ = 2. Logo o limite é 0.
numerador’ =
denominador’ =
Em
numerador’’ =
denominador’’ = 2
Em
Passo 8
Em g), em
temos
. Aplicamos L’Hôpital três vezes até eliminar a indeterminação, obtendo no último quociente
. Avaliando em
: numerador = -2, denominador = 6, portanto limite = -\tfrac{1}{3}.
Resposta
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
; g)