Avalie a integral de superfície \iiint_{s} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} para o campo vetorial dado \mathbf{F} e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de \mathbf{F} através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{j}-z \mathbf{k},
S é formada pelo paraboloide y=x^{2}+z^{2}, 0 \leqslant y \leqslant 1,

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=y\,\mathbf{j}-z\,\mathbf{k}
e a superfície fechada S_{\rm tot} que é a união do paraboloide
y = x^{2}+z^{2},\quad 0\le y\le 1
com o disco y=1,\;x^{2}+z^{2}\le 1. Queremos o fluxo de \mathbf{F} pela parte do paraboloide, orientada para fora do volume.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total por S_{\rm tot} é
\iint_{S_{\rm tot}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,dV.
Calculamos
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(0) +\frac{\partial}{\partial y}(y) +\frac{\partial}{\partial z}(-z) =1-1=0.
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\iint_{S_{\rm tot}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0.

Passo 3

Como S_{\rm tot}=S_{\rm parab}+S_{\rm topo}, temos
\Phi_{\rm parab}+\Phi_{\rm topo}=0,
onde \Phi_{\rm parab} é o fluxo pela parte parabólica e \Phi_{\rm topo} é o fluxo pelo disco em y=1.

Passo 4

No disco y=1, o vetor normal externo ao volume é \mathbf{n}=\mathbf{j}. Em y=1,
\mathbf{F}=\mathbf{j}-z\,\mathbf{k} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=1.
A região projetada no plano xz é o disco x^2+z^2\le1, de área \pi. Assim
\Phi_{\rm topo} =\iint_{x^2+z^2\le1}1\,dA =\pi.

Passo 5

Da relação \Phi_{\rm parab}+\Phi_{\rm topo}=0 segue
\Phi_{\rm parab}=-\,\Phi_{\rm topo}=-\pi.

Resposta

-\pi

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