Avalie a integral de superfície
para o campo vetorial dado
e a superfície orientada
. Em outras palavras, localize o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
,
é formada pelo paraboloide
,
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície fechada
que é a união do paraboloide
com o disco
. Queremos o fluxo de
pela parte do paraboloide, orientada para fora do volume.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total por
é
Calculamos
Logo
Passo 3
Como
, temos
onde
é o fluxo pela parte parabólica e
é o fluxo pelo disco em
.
Passo 4
No disco
, o vetor normal externo ao volume é
. Em
,
A região projetada no plano
é o disco
, de área
. Assim
Passo 5
Da relação
segue