Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x} e^{-x / 2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}\,e^{-x/2}.
O conteúdo envolve uma função polinomial em x multiplicada por um decaimento exponencial. Como a forma é indeterminada \infty\cdot0, vamos reescrever como quociente e usar a Regra de l’H^opital.

Passo 2

Reescrevendo em forma de quociente:
\sqrt{x}\,e^{-x/2} \;=\;\frac{\sqrt{x}}{e^{x/2}}.
Quando x\to\infty, o numerador \sqrt{x}\to\infty e o denominador e^{x/2}\to\infty, caracterizando a forma \frac{\infty}{\infty}.

Passo 3

Aplicamos a Regra de l’H^opital diferenciando numerador e denominador:
numerador’ =\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
denominador’ =\frac{d}{dx}\bigl(e^{x/2}\bigr)=\frac12\,e^{x/2}.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{x/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac12\,e^{x/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{2}{e^{x/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora, ao fazermos x\to\infty, o numerador e^{-x/2}\to0 enquanto o denominador \sqrt{x}\to\infty. Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}}=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados