Calcule iiint_{E} \operatorname{Div}(\vec{F}) d V e \iint_{S} \vec{F} d S, onde S é a superfície fronteira de E, e verifique que o Teorema de divergente é verdadeiro.
\vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3}, 2 y z, 4 z^{2}\right), E é o sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}\Div(\vec F)\,dV \quad\text{e}\quad \iint_{S}\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F(x,y,z)=(y^2z^3,\,2yz,\,4z^2), E é o sólido limitado por z=x^2+y^2 por baixo e z=9 por cima, e S=\partial E. Vamos usar o Teorema da Divergência, cálculo em coordenadas cilíndricas para o volume e parametrização das duas superfícies (o disco z=9 e o paraboloide z=x^2+y^2) para o fluxo.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\Div(\vec F) =\frac{\partial}{\partial x}(y^2z^3) +\frac{\partial}{\partial y}(2yz) +\frac{\partial}{\partial z}(4z^2) =0+2z+8z=10z.

Passo 3

Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
\iiint_{E}10z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{r^2}^{9}10z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).
Fazendo a integral em z:
\int_{r^2}^{9}10z\,dz =5\bigl[z^2\bigr]_{r^2}^{9} =5\,(81-r^4) =405-5r^4.
Em seguida em r:
\int_{0}^{3}(405-5r^4)\,r\,dr =\int_{0}^{3}(405r-5r^5)\,dr =405\frac{r^2}{2}\Big|_0^3 -5\frac{r^6}{6}\Big|_0^3 =3645/2-3645/6 =1215.
Finalmente em \theta:
\iiint_{E}10z\,dV =1215\int_{0}^{2\pi}d\theta =2430\pi.

Passo 4

Fluxo em S_{\rm topo}: o disco z=9, normal unitário \vec n=(0,0,1).
Em z=9, \vec F=(729y^2,18y,324), logo
\iint_{S_{\rm topo}}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{r\le3}324\,dS =324\cdot\pi\cdot3^2 =2916\pi.

Passo 5

Fluxo em S_{\rm lat}: o paraboloide z=x^2+y^2. Para a normal externa em forma não unitária usamos
d\vec S =(\partial_x z,\,\partial_y z,\,-1)\,dx\,dy =(2x,2y,-1)\,dx\,dy.
Em z=r^2, \vec F=(y^2r^6,2yr^2,4r^4). Em coordenadas cilíndricas:
\vec F\cdot d\vec S =\bigl(2x\,y^2r^6+4y^2r^2-4r^4\bigr)\,dx\,dy.
Passando a polares e lembrando dx\,dy=r\,dr\,d\theta, o termo misto em \cos\theta zera ao integrar em \theta, e resta
\iint_{S_{\rm lat}}\vec F\cdot d\vec S =\int_{0}^{2\pi}\!(\sin^2\theta-1)\,d\theta \int_{0}^{3}4r^5\,dr =-\pi\cdot486 =-486\pi.

Passo 6

Somando os fluxos das duas partes da fronteira:
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =2916\pi+(-486\pi) =2430\pi.
Como coincide com \displaystyle\iiint_{E}\Div(\vec F)\,dV=2430\pi, o Teorema da Divergência está verificado.

Resposta

\displaystyle\iiint_{E}\Div(\vec F)\,dV=2430\pi,\quad \iint_{S}\vec F\cdot d\vec S=2430\pi.

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