Calcule iiint_{E} \operatorname{Div}(\vec{F}) d V e \iint_{S} \vec{F} d S, onde S é a superfície fronteira de E, e verifique que o Teorema de divergente é verdadeiro. \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3}, 2 y z, 4 z^{2}\right), E é o sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=9.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}\Div(\vec F)\,dV \quad\text{e}\quad \iint_{S}\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F(x,y,z)=(y^2z^3,\,2yz,\,4z^2), E é o sólido limitado por z=x^2+y^2 por baixo e z=9 por cima, e S=\partial E. Vamos usar o Teorema da Divergência, cálculo em coordenadas cilíndricas para o volume e parametrização das duas superfícies (o disco z=9 e o paraboloide z=x^2+y^2) para o fluxo.