Calcule \int_{\Omega} g(x, y, z) d S
\int_{\Omega} x d S onde \Omega é parte do plano 2 x+3 y+z=6 situado no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\int_{\Omega} x\,dS
onde \Omega é a parte do plano
2x + 3y + z = 6
situada no primeiro octante ( x\ge0, y\ge0, z\ge0).
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar, e vamos usar parametrização do plano e a fórmula
dS = \bigl\|\mathbf r_u \times \mathbf r_v\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o plano usando (u,v) no plano xy:
\mathbf r(u,v) = \bigl(u,\;v,\;6 - 2u - 3v\bigr),
com as restrições \,u\ge0, v\ge0 e 6-2u-3v\ge0. Calculamos os vetores parciais
\mathbf r_u = (1,0,-2), \quad \mathbf r_v = (0,1,-3).
O produto vetorial é
\mathbf r_u \times \mathbf r_v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (2,\,3,\,1).
A norma desse vetor é
\bigl\|\mathbf r_u \times \mathbf r_v\bigr\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14}.
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dS = \sqrt{14}\,du\,dv.

Passo 3

Precisamos definir a região R no plano uv. A condição z\ge0 vira
6 - 2u - 3v \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 3v \le 6 - 2u \quad\Longrightarrow\quad 0 \le v \le \frac{6 - 2u}{3}.
Também u\ge0 e, impondo v\ge0, nota-se que 6-2u\ge0 implica u\le3. Portanto
R = \bigl\{(u,v)\mid 0\le u\le3,\;0\le v\le\tfrac{6-2u}{3}\bigr\}.

Passo 4

Escrevemos a integral de superfície em termos de u,v:
\int_{\Omega} x\,dS =\int_{R} \bigl(u\bigr)\,\bigl(\sqrt{14}\bigr)\,du\,dv = \sqrt{14}\int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{6-2u}{3}} u\,dv\,du.

Passo 5

Calculamos a integral iterada:
\int_{0}^{\frac{6-2u}{3}}u\,dv = u\cdot\frac{6-2u}{3}
então
\sqrt{14}\int_{0}^{3}u\cdot\frac{6-2u}{3}\,du = \sqrt{14}\,\frac{1}{3} \int_{0}^{3}(6u - 2u^2)\,du.
Agora
\int_{0}^{3}(6u - 2u^2)\,du = \Bigl[3u^2 - \tfrac{2}{3}u^3\Bigr]_{0}^{3} = 27 - 18 = 9,
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\sqrt{14}\,\frac{1}{3}\times 9 = 3\sqrt{14}.

Resposta

\int_{\Omega} x\,dS = 3\sqrt{14}.

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