Avalie a integral de superfície integral duplaS F cdot d S par ao campo vetorial dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
F(x, y, z)=y i+(z-y) j+x k, S é a superfície do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=y, i+(z-y), j+x, k através da superfície fechada S do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). O método mais eficiente é usar o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície fechada numa integral tripla da divergência sobre o volume.

Passo 2

Precisamos calcular a divergência de F. Pluggando as componentes P=y, Q=z-y e R=x na definição, temos
nablacdot F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z =0-1+0=-1
Aqui usamos que partial y/partial x=0, partial(z-y)/partial y=-1 e partial x/partial z=0.

Passo 3

O volume do tetraedro é dado pela fórmula clássica para o tetraedro com arestas nos eixos coordenados, ou seja,
V=16
Isso decorre de V=(1/6)l|det[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]r|.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo de F através de S é
integral duplaS Fcdot d S=integral triplaV(nablacdot F),dV =(-1)cdot16 =-16

Resposta

-tfrac16

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