Avalie a integral de superfície par ao campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva. é a superfície do tetraedro com vértices , e .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de através da superfície fechada do tetraedro com vértices , , e . O método mais eficiente é usar o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície fechada numa integral tripla da divergência sobre o volume.
Passo 2
Precisamos calcular a divergência de . Pluggando as componentes , e na definição, temos
Aqui usamos que , e .
Passo 3
O volume do tetraedro é dado pela fórmula clássica para o tetraedro com arestas nos eixos coordenados, ou seja,
Isso decorre de .
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo de F através de S é
integral duplaS Fcdot d S=integral triplaV(nablacdot F),dV =(-1)cdot16 =-16