Escreva na forma trigonométrica e exponencial os números complexos:
z=2+2 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar o número complexo z = 2 + 2i nas formas trigonométrica e exponencial. Isso está ligado ao estudo de números complexos, especificamente às diferentes representações que podemos usar. Para resolver, vamos precisar calcular o módulo e o argumento desse número, que são essenciais para as duas formas que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo de z . O módulo é a distância do ponto z até a origem no plano complexo e é dado pela fórmula:
r = raiza^2 + b^2
onde z = a + b i . No nosso caso, a = 2 e b = 2 , então:
r = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento de z , que é o ângulo que o vetor que representa z faz com o eixo real positivo. A fórmula para o argumento é:
theta = arctan(ba)
Substituindo nossos valores:
theta = arctan(22) = arctan(1) = pi4 radianos

Passo 4

Com o módulo r = 2raiz2 e o argumento theta = pi4 , podemos escrever a forma trigonométrica de z usando a fórmula:
z = r (cos theta + i sin theta)
Substituindo os valores:
z = 2raiz2 ( cos(pi4) + i sin(pi4) )

Passo 5

Por fim, a forma exponencial de z utiliza a relação de Euler:
z = r e^itheta
Usando nossos valores:
z = 2raiz2 , e^ipi4

Resposta

A forma trigonométrica de z é:
z = 2raiz2 ( cos(pi4) + i sin(pi4) )
E a forma exponencial de z é:
z = 2raiz2 , e^ipi4

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