Determine o valor de (12+i raiz32)^11.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular o valor de (12+i raiz32)^11. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a regra de potências para números complexos. Então, vamos precisar converter o número para a forma polar e depois aplicar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número complexo que temos: 12 + i raiz32. Essa expressão está na forma retangular, ou seja, a + ib, onde a = 12 e b = raiz32.

Passo 3

Agora, vamos converter esse número para a forma polar. Na forma polar, um número complexo é representado como r(cos theta + i sin theta), onde r é o módulo e theta é o argumento.

Passo 4

Calculando o módulo r, que é a distância do ponto até a origem no plano complexo:
r = raiz(12)^2 + (raiz32)^2 = raiz14 + 34 = raiz1 = 1
Então, r = 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o argumento theta. Sabemos que:
cos theta = 12 e sin theta = raiz32
Isso corresponde a um ângulo de 60^circ ou pi3 radianos.

Passo 6

Então, podemos reescrever o número complexo na forma polar:
1 ( cos pi3 + i sin pi3 )

Passo 7

Agora, vamos aplicar a potência de 11 usando a fórmula:
[ r ( cos theta + i sin theta ) ]^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
Aqui, n = 11, r = 1 e theta = pi3.

Passo 8

Calculando r^11:
1^11 = 1
Então, ainda temos:
1 ( cos(11 times pi3) + i sin(11 times pi3) )

Passo 9

Multiplicando o ângulo:
11 times pi3 = 11pi3
Como ângulos se repetem a cada 2pi, vamos simplificar:
11pi3 - 2pi = 11pi3 - 6pi3 = 5pi3

Passo 10

Então, temos:
cos(5pi3) + i sin(5pi3)
Sabemos que:
cos(5pi3) = 12 e sin(5pi3) = -raiz32

Passo 11

Substituindo esses valores:
12 - i raiz32

Resposta

O valor de (12+i raiz32)^11 é 12 - i raiz32.

Exercícios relacionados