Vamos lá! A gente precisa calcular o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a regra de potências para números complexos. Então, vamos precisar converter o número para a forma polar e depois aplicar a potência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o número complexo que temos: . Essa expressão está na forma retangular, ou seja, , onde e .
Passo 3
Agora, vamos converter esse número para a forma polar. Na forma polar, um número complexo é representado como , onde é o módulo e é o argumento.
Passo 4
Calculando o módulo , que é a distância do ponto até a origem no plano complexo:
Então, r = 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o argumento theta. Sabemos que:
cos theta = 12 e sin theta = raiz32
Isso corresponde a um ângulo de 60^circ ou pi3 radianos.
Passo 6
Então, podemos reescrever o número complexo na forma polar:
1 ( cos pi3 + i sin pi3 )
Passo 7
Agora, vamos aplicar a potência de 11 usando a fórmula:
[ r ( cos theta + i sin theta ) ]^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
Aqui, n = 11, r = 1 e theta = pi3.
Passo 8
Calculando r^11:
1^11 = 1
Então, ainda temos:
1 ( cos(11 times pi3) + i sin(11 times pi3) )
Passo 9
Multiplicando o ângulo:
11 times pi3 = 11pi3
Como ângulos se repetem a cada 2pi, vamos simplificar: