Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y, z)=x z-y^2x^2+y^2+z^2, se (x, y, z) neq(0,0,0) e f(0,0,0)=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)= xz-y^2x^2+y^2+z^2,& (x,y,z)neq(0,0,0), 0,&(x,y,z)=(0,0,0)
Queremos discutir onde f é contínua. O conteúdo usado será a continuidade de quocientes de funções contínuas (quando o denominador não anula) e o teste de limites por trajetórias para o ponto (0,0,0).

Passo 2

Para (x,y,z)neq(0,0,0) temos que as funções
(x,y,z)mapsto xz-y^2 e (x,y,z)mapsto x^2+y^2+z^2
são contínuas e x^2+y^2+z^2neq0. Logo o quociente
xz-y^2x^2+y^2+z^2
é contínuo nesses pontos.

Passo 3

Falta verificar continuidade em (0,0,0). Precisaríamos de
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=f(0,0,0)=0
Considere a trajetória
y=0, z=x, xto0
Então, para xneq0,
f(x,0,x) =xcdot x-0^2x^2+0+x^2 =x^22x^2 =tfrac12
Isso mostra que ao aproximar de (0,0,0) por essa curva o valor de f tende a tfrac12neq0. Portanto o limite não é 0 e a função é descontínua em (0,0,0).

Resposta

A função f é contínua em R^3setminus(0,0,0) e descontínua em (0,0,0).

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