Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=exp (x^2+y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracexpl(x^2+y^2r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&(x,y)=(0,0),
e pede para discutir os pontos de continuidade de f. O conteúdo necessário é o uso de propriedades de funções compostas e o cálculo de limite em duas variáveis, de preferência em coordenadas polares.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), o numerador expl(x^2+y^2r) e o denominador x^2+y^2 são funções contínuas, com x^2+y^2neq0. Logo, o quociente é contínuo em todo ponto fora da origem.

Passo 3

Em (0,0) devemos verificar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)expl(x^2+y^2r)x^2+y^2
Se esse limite fosse igual a f(0,0)=1, teríamos continuidade; caso contrário, há descontinuidade.

Passo 4

Passamos a coordenadas polares, escrevendo
x=rcostheta, y=rsintheta,
com r>=0. Então x^2+y^2=r^2 e
f(x,y) =exp(r^2)r^2
O limite fica
limrto0^+exp(r^2)r^2

Passo 5

Sabemos que para rto0^+, exp(r^2)=1+r^2+O(r^4). Portanto
exp(r^2)r^2 =1+r^2+O(r^4)r^2 =1r^2+1+O(r^2) longrightarrow +infty
O limite diverge para +infty, não existindo valor finito igual a 1.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e é descontinua em (0,0), pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=+inftyneq f(0,0)=1

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