Um fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
, em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do cilindro
.
Passo 1
O enunciado dá um fluido de densidade
com campo de velocidade
e pede a taxa de vazão de massa para fora do cilindro delimitado por
,
.
Este é um problema de fluxo de campo vetorial através de uma superfície fechada, então vamos usar o Teorema da Divergência para calcular
Este é um problema de fluxo de campo vetorial através de uma superfície fechada, então vamos usar o Teorema da Divergência para calcular
Passo 2
Calcule a divergência de
:
Passo 3
A taxa de fluxo de massa fica
onde
é o cilindro
. Note que o integrando
é uma função ímpar em
, enquanto a região é simétrica de
até
.
Passo 4
Por simetria em
, temos
pois para cada valor positivo de
existe um correspondente negativo que cancela o fluxo.
Resposta
A taxa de vazão de massa para fora do cilindro é