Um fluido tem densidade 870 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e escoa com velocidade \mathbf{v}=z \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de \mathbf{v}, em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do cilindro x^{2}+y^{2}=4,0 \leqslant z \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá um fluido de densidade \rho=870\\ \mathrm{kg/m^3} com campo de velocidade
\mathbf{v}(x,y,z)=z\,\mathbf{i}+y^2\,\mathbf{j}+x^2\,\mathbf{k},
e pede a taxa de vazão de massa para fora do cilindro delimitado por x^2+y^2=4, 0\le z\le1.
Este é um problema de fluxo de campo vetorial através de uma superfície fechada, então vamos usar o Teorema da Divergência para calcular
\dot m=\rho\iint_{S}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS =\rho\iiint_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{v}\,dV.

Passo 2

Calcule a divergência de \mathbf{v}:
\nabla\!\cdot\mathbf{v} =\frac{\partial}{\partial x}(z)+\frac{\partial}{\partial y}(y^2)+\frac{\partial}{\partial z}(x^2) =0+2y+0 =2y.

Passo 3

A taxa de fluxo de massa fica
\dot m =\rho\iiint_{V}2y\,dV,
onde V é o cilindro x^2+y^2\le4,\;0\le z\le1. Note que o integrando 2y é uma função ímpar em y, enquanto a região é simétrica de y=-2 até y=2.

Passo 4

Por simetria em y, temos
\iiint_{V}2y\,dV =0,
pois para cada valor positivo de y existe um correspondente negativo que cancela o fluxo.

Resposta

A taxa de vazão de massa para fora do cilindro é
\dot m = 0\\ \mathrm{kg/s}.

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