resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
y \ln x \frac{d x}{d y}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial de primeira ordem
y \ln x \,\frac{dx}{dy}=\Bigl(\frac{y+1}{x}\Bigr)^{2}.
Trata-se de uma ODE separável, pois podemos escrever todos os termos com x num lado e todos os termos com y no outro lado.

Passo 2

Isolamos \frac{dx}{dy} e reorganizamos para separar variáveis:
\frac{dx}{dy} =\frac{(y+1)^{2}}{y\,x^{2}\,\ln x} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,\ln x\,\frac{dx}{dy} =\frac{(y+1)^{2}}{y}
Multiplicando ambos os lados por dy obtemos a separação
x^{2}\,\ln x\,dx =\frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int x^{2}\,\ln x\,dx \;=\; \int \frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy.

Passo 4

Para calcular
\int x^{2}\,\ln x\,dx
usamos integração por partes, com
\displaystyle u=\ln x, dv=x^{2}dx, logo du=\frac{1}{x}dx e v=\frac{x^{3}}{3}.
Assim
\int x^{2}\,\ln x\,dx =\frac{x^{3}}{3}\,\ln x -\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\,\ln x -\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\,\ln x -\frac{x^{3}}{9}.

Passo 5

Para
\int \frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy
fatorializamos o numerador:
\frac{(y+1)^{2}}{y} =\frac{y^{2}+2y+1}{y} =y+2+\frac{1}{y}.
Logo
\int \frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy =\int \Bigl(y+2+\tfrac{1}{y}\Bigr)dy =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert.

Passo 6

Igualando as antiderivadas e incluindo constante C, temos
\frac{x^{3}}{3}\,\ln x -\frac{x^{3}}{9} =\frac{y^{2}}{2} +2y +\ln\lvert y\rvert +C.

Resposta

A solução geral implícita é
\frac{x^{3}}{3}\,\ln x -\frac{x^{3}}{9} -\frac{y^{2}}{2} -2y -\ln\lvert y\rvert =C,
onde C é a constante de integração.

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