resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial de primeira ordem
Trata-se de uma ODE separável, pois podemos escrever todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro lado.
Passo 2
Isolamos
e reorganizamos para separar variáveis:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a separação
Passo 3
Integramos os dois lados:
Passo 4
Para calcular
usamos integração por partes, com
,
, logo
e
.
Assim
Assim
Passo 5
Para
fatorializamos o numerador:
Logo
Passo 6
Igualando as antiderivadas e incluindo constante
, temos
Resposta
A solução geral implícita é
onde
é a constante de integração.