Avalie a integral.
integral 5 e^te^2 t+e^t-6 d t

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral integral 5e^te^2t+e^t-6,dt. O conteúdo principal é integrar uma função racional em e^t, usando substituição e frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição u = e^t. Então du = e^t,dt, ou seja, dt = duu.
Substituindo na integral, obtemos
integral 5e^te^2t+e^t-6,dt = integral 5uu^2+u-6 cdot duu = integral 5u^2+u-6 ,du

Passo 3

Fatoramos o denominador
u^2+u-6 = (u+3)(u-2)
e escrevemos a decomposição em frações parciais
5(u+3)(u-2) = Au+3 + Bu-2
Para determinar A e B, fazemos
5 = A(u-2) + B(u+3)
Tomando u=2 vem 5 = 5B logo B=1. Tomando u=-3 vem 5 = -5A logo A=-1.

Passo 4

Substituindo A e B e integrando termo a termo, temos
integral 5u^2+u-6 ,du = integrall(-1u+3 + 1u-2r) du = -ln|u+3| + ln|u-2| + C

Passo 5

Voltando à variável t, basta substituir u = e^t na expressão -ln|u+3| + ln|u-2| + C.

Resposta

ln!l|tfrace^t - 2e^t + 3r| + C

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