Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi x cos (n x) d x, n in N

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi xcos(nx),dx, onde n é natural. O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos um produto de x por cos(nx).

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que diz: integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhemos u = x e dv = cos(nx),dx. Daí temos du = dx e, integrando dv, v = 1nsin(nx).

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes,
integral0^pi xcos(nx),dx = l[x cdot tfrac1nsin(nx)r]0^pi - integral0^pi tfrac1nsin(nx),dx

Passo 4

Agora avaliamos o termo xsin(nx)/n nos limites e calculamos a integral de sin(nx):
  • O termo de fronteira é
l[x cdot tfrac1nsin(nx)r]0^pi = pi cdot tfrac1nsin(npi) - 0 = 0
(since sin(npi)=0).
- A integral restante é
integral0^pi sin(nx),dx = l[-tfrac1ncos(nx)r]0^pi = -tfrac1nl(cos(npi)-cos0r) = tfrac1-(-1)^nn

Passo 5

Substituindo de volta e simplificando, obtemos
integral0^pi xcos(nx),dx = -tfrac1n cdot tfrac1-(-1)^nn = (-1)^n-1n^2

Resposta

(-1)^n-1n^2

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