Avalie a integral.
integral x^2x^3-6 x^2+11 x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral integral x^2x^3-6x^2+11x-6,dx. Esse é um problema de integração de funções racionais, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para integrá-la.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos
x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)
Logo podemos escrever
x^2(x-1)(x-2)(x-3)=Ax-1+Bx-2+Cx-3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)(x-3) e avaliando em x=1,2,3 para achar A,B,C:
  • Para x=1: 1= A(1-2)(1-3)=2A A=tfrac12.
  • Para x=2: 4= B(2-1)(2-3)=-B B=-4.
  • Para x=3: 9= C(3-1)(3-2)=2C C=tfrac92.

Passo 4

Substituindo esses valores na integral, obtemos
integralx^2x^3-6x^2+11x-6,dx=integrall(tfrac121x-1-41x-2+tfrac921x-3r)dx
Integrando termo a termo com integraldxx-a=ln|x-a|, chega-se a
tfrac12ln|x-1|-4ln|x-2|+tfrac92ln|x-3|+C

Resposta

\tfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|+\tfrac92\ln|x-3|+C

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