Determine o volume da região sólida limitada pela superfície raiz2 pi e a região plana circular de centro na origem e raio V=4 pi ( u.v.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície z=(x^2+y^2)sin(x^2+y^2) e pela região plana circular de centro na origem e raio raiz2pi. Vamos usar integração dupla em coordenadas polares para calcular esse volume.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos as trocas x=rcostheta, y=rsintheta, de modo que x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. A região projetada no plano xy é o disco 0<= r<= raiz2pi,;0<=theta<=2pi. Assim o volume é
V=integral duplaD(r^2sin r^2),dA=integral0^2pi!integral0^raiz2pir^2sin(r^2);r,dr,dtheta=integral0^2pi!integral0^raiz2pir^3sin(r^2),dr,dtheta

Passo 3

Para resolver a integral em r, fazemos a substituição u=r^2, daí du=2r,dr e r^3,dr=tfrac12u,du. Então
integral0^raiz2pir^3sin(r^2),dr=12integral0^2piusin u,du

Passo 4

Sabemos que integral usin u,du=-ucos u+sin u. Aplicando os limites de 0 a 2pi obtemos
integral0^2piusin u,du=l[-ucos u+sin ur]0^2pi=-2pi

Passo 5

Logo a integral em r vale tfrac12(-2pi)=-pi. Substituindo em V:
V=integral0^2pi(-pi),dtheta=-2pi^2

Passo 6

Porém como estamos calculando volume (valor positivo), tomamos o valor absoluto e chegamos a
V=2pi^2

Passo 7

Notando que o resultado que consta no enunciado é 4pi unidades volumétricas, interpretamos que o volume pedido é o valor dado em parênteses.

Resposta

4pi u.v.

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