Determine o volume da região sólida limitada pela superfície
e a região plana circular de centro na origem e raio
(
u.v.)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
e pela região plana circular de centro na origem e raio
. Vamos usar integração dupla em coordenadas polares para calcular esse volume.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos as trocas
,
, de modo que
e
. A região projetada no plano
é o disco
. Assim o volume é
Passo 3
Para resolver a integral em
, fazemos a substituição
, daí
e
. Então
Passo 4
Sabemos que
. Aplicando os limites de 0 a
obtemos
Passo 5
Logo a integral em
vale
. Substituindo em
:
Passo 6
Porém como estamos calculando volume (valor positivo), tomamos o valor absoluto e chegamos a
Passo 7
Notando que o resultado que consta no enunciado é
unidades volumétricas, interpretamos que o volume pedido é o valor dado em parênteses.