Avalie a integral usando uma apropriada substituição trigonométrica.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de
usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integral de função do tipo
, e vamos precisar usar a substituição
e a fórmula da integral de
.
Passo 2
Primeiro, fatoramos a constante
para fora da integral. Assim obtemos:
Passo 3
Fazemos a substituição trigonométrica com
:
-
-
-
.
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 4
Para integrar
, usamos a fórmula conhecida:
Passo 5
Multiplicando pelo fator
e voltando para
:
- Fator
. -
e . - Logo
.
Substituindo e simplificando, chegamos ao resultado final. Todas as simplificações levam à forma explícita em
.
Resposta
[\frac{x\sqrt{16+x^{2}}}{10} + \frac{8}{5}\ln\bigl|x+\sqrt{16+x^{2}}\bigr| + C]