Avalie a integral usando uma apropriada substituição trigonométrica.
integral raiz16+x^25 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de raiz16+x^25,dx usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integral de função do tipo raiza^2+x^2, e vamos precisar usar a substituição x=atantheta e a fórmula da integral de sec^3theta.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante tfrac15 para fora da integral. Assim obtemos:
integral raiz16+x^25,dx = 15integral raiz16+x^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica com a=4:
  • x = 4tantheta
  • dx = 4sec^2theta,dtheta
  • raiz16+x^2 = raiz16+16tan^2theta = 4sectheta.
    Substituindo tudo na integral, temos:
15integral 4sectheta cdot 4sec^2theta,dtheta = 165integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar sec^3theta, usamos a fórmula conhecida:
integral sec^3theta,dtheta = 12l(secthetatantheta + ln|sectheta + tantheta|r) + C

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac165 e voltando para x:
  • Fator tfrac165cdottfrac12 = tfrac85.
  • sectheta = raiz16+x^24 e tantheta = x4.
  • Logo secthetatantheta = xraiz16+x^216.
Substituindo e simplificando, chegamos ao resultado final. Todas as simplificações levam à forma explícita em x.

Resposta

[\frac{x\sqrt{16+x^{2}}}{10} + \frac{8}{5}\ln\bigl|x+\sqrt{16+x^{2}}\bigr| + C]

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