Seja A. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de y=2 em torno da reta .

Passo 1

O enunciado define a região A no plano: 0≤x≤1 e ln(x+1)+2≤y≤e^x+4, e pede o volume obtido ao girar A em torno da reta y=2. O conteúdo é volume de sólido de revolução usando o método dos discos (washers).

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, calculamos a distância de cada curva até a reta y=2. O raio externo é Rₒ(x)=ex+4−2=ex+2 e o interno é Rᵢ(x)=ln(x+1)+2−2=ln(x+1).
O volume fica dado por V=π∫₀¹[ Rₒ(x)² − Rᵢ(x)² ]dx, ou seja
[ V = π ∫₀¹ \bigl[(ex+2)2 - (\ln(x+1))^2\bigr] ,dx ]

Passo 3

Expandindo temos (ex+2)2=e{2x}+4ex+4, então
[ V = π ∫₀¹ \bigl(e{2x}+4ex+4 - (\ln(x+1))^2\bigr) ,dx ]

Passo 4

Separamos em integrais conhecidas:
[ ∫₀¹ e^{2x} dx = \frac{e^2-1}{2}, \quad ∫₀¹ e^x dx = e-1, \quad ∫₀¹ dx =1. ]

Passo 5

Falta calcular I=∫₀¹(ln(x+1))^2 dx. Fazemos a substituição u=ln(x+1), x=e^u−1, dx=e^u du, limites u∈[0,ln2] e
[ I = ∫₀^{\ln2} u^2 e^u ,du. ]

Passo 6

Integramos por partes: ∫u^2 e^u du = eu(u2−2u+2)+C, logo
[ I = \Bigl[eu(u2−2u+2)\Bigr]_0^{\ln2} = 2[(\ln2)^2−2\ln2+2] −2 = 2(\ln2)^2 −4\ln2 +2. ]

Passo 7

Agora reunimos tudo:
[ V/π = \tfrac{e^2-1}{2} +4(e-1)+4 - (2(\ln2)^2 -4\ln2 +2). ]
Simplificando V/π obtemos
[ V/π = \tfrac{e^2}{2} +4e -2(\ln2)^2 +4\ln2 -\tfrac{5}{2}, ]
e portanto o volume é o produto por π.

Resposta

V = pil(tfrace^22 +4e -2(ln2)^2 +4ln2 -tfrac52r)

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