Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
(a) Se
representa a densidade de massa em um ponto do espaço então
representa o volume do sólido
.
(b) Se
é uma caixa retangular sólida no espaço
então
onde
são constantes.
© Se
é o cubo unitário
e
então
em todos os pontos do cubo.
(d) Se
e
são dois sólidos com
então
para toda função
.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre integrais triplas como verdadeiras ou falsas, justificando cada caso. O conteúdo envolve interpretação física de
, o Teorema de Fubini para caixas retangulares e exemplos/caso geral para determinar quando a integral nula ou desigualdades valem.
Passo 2
(a) Falsa. A integral
representa a massa do sólido quando
é densidade, e não o volume. Por exemplo, seja
constante em
. Então
block: "
Logo nem sempre dá o volume.
Logo nem sempre dá o volume.
Passo 3
(b) Verdadeira. Pelo Teorema de Fubini, se
, então a integral triplamente definida se escreve como iterada:
block: “
”
Passo 4
© Falsa. Ter
não obriga
pontual. Por exemplo, em
defina
block: "
Então a parte positiva e negativa se cancelam, dando integral zero, mas não é identicamente zero.
Então a parte positiva e negativa se cancelam, dando integral zero, mas
Passo 5
(d) Falsa. Se
, ainda assim para toda função
a desigualdade das integrais não vale. Basta escolher
constante. Aí
block: “
”
Resposta
(a) F, (b) V, © F, (d) F