Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
(a) Se rho(x, y, z) representa a densidade de massa em um ponto do espaço então integral triplaW rho(x, y, z) d V representa o volume do sólido W.
(b) Se W é uma caixa retangular sólida no espaço R^3 então integral triplaW f(x, y, z) d V=integrala^b integralc^d integrale^k f(x, y, z) d z d y d x onde a, b, c, d, e, k são constantes.
© Se W é o cubo unitário 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1 e integral triplaW f d V=0 então f=0 em todos os pontos do cubo.
(d) Se W1 e W2 são dois sólidos com integral triplaW1 f d V>integral triplaW2 f d v então f para toda função .

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre integrais triplas como verdadeiras ou falsas, justificando cada caso. O conteúdo envolve interpretação física de integral triplaWrho,dV, o Teorema de Fubini para caixas retangulares e exemplos/caso geral para determinar quando a integral nula ou desigualdades valem.

Passo 2

(a) Falsa. A integral integral triplaWrho(x,y,z),dV representa a massa do sólido quando rho é densidade, e não o volume. Por exemplo, seja rho(x,y,z)=2 constante em W. Então
block: " integral triplaWrho,dV=2,Vol(W)neqVol(W)
Logo nem sempre dá o volume.

Passo 3

(b) Verdadeira. Pelo Teorema de Fubini, se W=[a,b]times[c,d]times[e,k], então a integral triplamente definida se escreve como iterada:
block: “ integral triplaW f(x,y,z),dV=integrala^bintegralc^dintegrale^k f(x,y,z),dz,dy,dx

Passo 4

© Falsa. Ter integral triplaW f,dV=0 não obriga f=0 pontual. Por exemplo, em W=[0,1]^3 defina
block: " f(x,y,z)=1,&xtfrac12
Então a parte positiva e negativa se cancelam, dando integral zero, mas f não é identicamente zero.

Passo 5

(d) Falsa. Se Vol(W1)>Vol(W2), ainda assim para toda função f a desigualdade das integrais não vale. Basta escolher f(x,y,z)=-1 constante. Aí
block: “ integral triplaW1f,dV=-Vol(W1)<-Vol(W2)=integral triplaW2f,dV

Resposta

(a) F, (b) V, © F, (d) F

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