Um sólido W no espaço possui densidade rho(x, y, z) em cada ponto (x, y, z). Nesse caso as coordenadas do centro de massa (barx, bary, barz) são dadas por
barx=1m integral triplaW x rho(x, y, z) d V, bary=1m integral triplaW y rho(x, y, z) d V, barz=1m integral triplaW z rho(x, y, z) d V onde m=integral triplaW rho(x, y, z) d V
Calcule o centro de massa do tetraedro limitado pelos planos x y, x z, y z e pelo plano x+2 y+3 z=1. Suponha que a densidade é constante.

Passo 1

Temos um tetraedro no 1º octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+2y+3z=1. A densidade é constante, então o centro de massa coincide com o baricentro do sólido. Para resolver, vamos identificar os vértices do tetraedro e usar a propriedade de que, para densidade constante, o baricentro é a média das coordenadas dos vértices.

Passo 2

Fazendo as interseções do plano x+2y+3z=1 com os eixos, obtemos os vértices (1,0,0), (0,12,0), (0,0,13) e a origem (0,0,0).

Passo 3

Como o baricentro de um tetraedro de densidade constante é a média das coordenadas dos seus vértices, temos bar x=1+0+0+04=14, bar y=0+12+0+04=18 e bar z=0+0+13+04=112.

Resposta

(14,18,112)

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