Avalie a integral usando uma apropriada substituição trigonométrica.
integral0^2 raiz64-x^24 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^2dfracraiz64 - x^24x^2,dx usando substituição trigonométrica. Aqui vamos usar conhecimentos de integrais impróprias (para tratar a descontinuidade em x=0) e de substituições trigonométricas para raízes do tipo raiza^2-x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica x = 8sintheta, então raiz64-x^2 = 8costheta e dx = 8costheta,dtheta.
Os limites em x viram x=0Rightarrowtheta=0 e x=2Rightarrowsintheta=2/8=1/4, isto é, theta=arcsin(1/4). Substituindo na integral:
integral0^2raiz64-x^24x^2,dx =integraltheta=0^arcsin(1/4)8costheta4,(8sintheta)^2,(8costheta),dtheta =14integral0^arcsin(1/4)cot^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos cot^2theta=csc^2theta -1, daí
integralcot^2theta,dtheta =integral(csc^2theta-1),dtheta = -cottheta - theta + C
Logo a integral torna-se
14l[-cottheta - thetar]0^arcsin(1/4)

Passo 4

Ao avaliar em theta=0 aparece cot0to+infty, o que faz a integral divergir no limite inferior. Portanto, apesar de expressarmos a antiderivada, o comportamento em xto0 leva a um valor infinito.
Concluímos que a integral imprópria não converge, pois há divergência na vizinhança de x=0.

Resposta

A integral diverge (não é convergente).

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