Avalie a integral usando uma apropriada substituição trigonométrica.
integral 2 x+3raiz4-x^2 d x

Passo 1

A gente tem que calcular a integral integral 2x+3raiz4-x^2,dx. O conteúdo aqui é integração com raiz raiza^2 - x^2, e o truque é usar a substituição trigonométrica x = 2sintheta, porque aí raiz4 - x^2 = 2costheta. Também vamos precisar de dx = 2costheta,dtheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x = 2sintheta:
2x + 3 = 4sintheta + 3,
raiz4 - x^2 = 2costheta,
dx = 2costheta,dtheta
Então o integrando vira
2x+3raiz4-x^2,dx = 4sintheta + 32costheta cdot (2costheta,dtheta) = (4sintheta + 3),dtheta

Passo 3

Agora a integral ficou simples:
integral (4sintheta + 3),dtheta = 4integral sintheta,dtheta + 3integral dtheta
Sabemos que integral sintheta,dtheta = -costheta e integral dtheta = theta, logo
4(-costheta) + 3theta + C = -4costheta + 3theta + C

Passo 4

Volta para x: temos costheta = raiz1-sin^2theta = raiz1-(x/2)^2 = raiz4-x^22 e theta = arcsinl(tfracx2r). Substituindo:
-4costheta = -4 cdot raiz4-x^22 = -2raiz4-x^2,
3theta = 3arcsinl(tfracx2r)

Passo 5

Juntando tudo, a integral é
-2raiz4-x^2 + 3arcsinl(tfracx2r) + C

Resposta

-2\sqrt{4 - x^2} + 3\arcsin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

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