Escolha sua função holomorfa preferida; ela pode estar definida em uma região Omega ou no plano complexo inteiro como, por exemplo, f(z)=e^z. O que podemos dizer sobre as derivadas de segunda ordem das partes real e imaginária dessa função?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede: temos uma função holomorfa qualquer, digamos f(z)=u(x,y)+i,v(x,y), e precisamos investigar as derivadas de segunda ordem das suas partes real u e imaginária v. Para isso, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann e ver o que elas implicam em termos de segundas derivadas.

Passo 2

Como f é holomorfa, suas componentes u(x,y) e v(x,y) são C^1 e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy, uy = -vx

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essas equações para relacionar as segundas derivadas. Diferenciando ux = vy em relação a x e uy = -vx em relação a y, obtemos:
uxx = vyx, uyy = -vxy

Passo 4

Como v é C^2, as derivadas mistas são iguais: vyx=vxy. Assim
uxx = vxy = -uyy Longrightarrow uxx + uyy = 0

Passo 5

Repetindo o mesmo raciocínio para v: usando uy=-vx derivamos em x e ux=vy derivamos em y, e chegamos a
vxx + vyy = 0

Resposta

As partes real u e imaginária v de uma função holomorfa satisfazem a equação de Laplace, ou seja, são harmônicas: uxx+uyy=0 e vxx+vyy=0.

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