Escolha sua função holomorfa preferida; ela pode estar definida em uma região
ou no plano complexo inteiro como, por exemplo,
. O que podemos dizer sobre as derivadas de segunda ordem das partes real e imaginária dessa função?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede: temos uma função holomorfa qualquer, digamos
, e precisamos investigar as derivadas de segunda ordem das suas partes real
e imaginária
. Para isso, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann e ver o que elas implicam em termos de segundas derivadas.
Passo 2
Como
é holomorfa, suas componentes
e
são
e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar essas equações para relacionar as segundas derivadas. Diferenciando
em relação a
e
em relação a
, obtemos:
Passo 4
Como
é
, as derivadas mistas são iguais:
. Assim
Passo 5
Repetindo o mesmo raciocínio para
: usando
derivamos em
e
derivamos em
, e chegamos a
Resposta
As partes real
e imaginária
de uma função holomorfa satisfazem a equação de Laplace, ou seja, são harmônicas:
e
.