Calcule a integral tripla de f na região W em coordenadas cilíndricas.
W e z é o cilindro de altura 4, centrado no eixo z=-1 e com base de raio 1 no plano .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=sin(x^2+y^2) sobre o cilindro W de raio 1 e altura 4, cujo eixo central é o eixo z e cuja base inferior está no plano z=-1. O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas e vamos precisar usar a conversão x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a função e a região ficam mais simples: a distância ao eixo z é r, então x^2+y^2=r^2 e f=sin(r^2). O cilindro tem 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi e, como a base inferior está em z=-1 e a altura é 4, temos -1<= z<=3.

Passo 3

A integral tripla em cilíndricas fica então:
integral triplaW f,dV = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=-1^3 sin(r^2),r,dz,dr,dtheta
Como o integrando não depende de z, a integral em z dá simplesmente o comprimento da altura (4):
integralz=-1^3dz = 4
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integral triplaW f,dV = 4integraltheta=0^2pidtheta integralr=0^1 sin(r^2),r,dr

Passo 4

A integral em theta também é imediata e vale 2pi. Ficamos com
4times2pi integral0^1 r,sin(r^2),dr = 8pi integral0^1 r,sin(r^2),dr

Passo 5

Para resolver integral0^1 r,sin(r^2),dr usamos a substituição u=r^2, então du=2r,dr ou r,dr=tfrac12 du. Os limites vão de u=0 até u=1. Assim:
integral0^1 r,sin(r^2),dr = 12 integral0^1 sin(u),du = 12[-cos(u)]0^1 = 12(1-cos1)

Resposta

4pi(1-cos1)

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