Calcule a integral tripla de
na região
em coordenadas cilíndricas.
e
é o cilindro de altura 4, centrado no eixo
e com base de raio 1 no plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre o cilindro
de raio 1 e altura 4, cujo eixo central é o eixo
e cuja base inferior está no plano
. O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas cilíndricas e vamos precisar usar a conversão
,
,
e o elemento de volume
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a função e a região ficam mais simples: a distância ao eixo
é
, então
e
. O cilindro tem
,
e, como a base inferior está em
e a altura é 4, temos
.
Passo 3
A integral tripla em cilíndricas fica então:
Como o integrando não depende de
Logo
Passo 4
A integral em
também é imediata e vale
. Ficamos com
Passo 5
Para resolver
usamos a substituição
, então
ou
. Os limites vão de
até
. Assim: