Avalie a integral usando integração por partes.
7) integral0^pi x sen(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi x,sen(3x),dx
usando o método de integração por partes. Nesse caso, vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du
escolhendo funções adequadas para u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = sen(3x),dx
Então
du = dx
e para encontrar v calculamos
v = integral sen(3x),dx
Fazendo a substituição t=3x, dt=3,dx, vem
v = integral sen(3x),dx = -13cos(3x)

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes, a integral indefinida é
integral x,sen(3x),dx = xl(-tfrac13cos(3x)r) - integral l(-tfrac13cos(3x)r),dx
Ou seja,
integral x,sen(3x),dx = -x3cos(3x) + 13integral cos(3x),dx
Calculando a parte restante, com a mesma substituição t=3x,
integral cos(3x),dx = 13sen(3x)
Logo
integral x,sen(3x),dx = -x3cos(3x) + 13cdot13sen(3x) = -x3cos(3x) + 19sen(3x) + C

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 0 a pi:
integral0^pi x,sen(3x),dx = l[-tfracx3cos(3x) + tfrac19sen(3x)r]0^pi
Em x=pi:
-pi3cos(3pi) + 19sen(3pi) = -pi3(-1) + 19cdot 0 = pi3
Em x=0:
-03cos(0) + 19sen(0) = 0
Portanto
integral0^pi x,sen(3x),dx = pi3 - 0 = pi3

Resposta

pi3

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