Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
c) y^prime prime=(y^prime)^3+y^prime

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem a equação diferencial y'' = (y')^3 + y' . O conteúdo envolvido é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação, definindo v = y' . Com isso, vamos transformar a EDO original em uma equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: v = y' . Isso significa que a derivada de v em relação a x será v' = y'' . Agora, substituímos esses na equação original:
v' = v^3 + v
Agora, nossa equação ficou de primeira ordem, o que é mais fácil de lidar.

Passo 3

A equação que chegamos agora é uma equação diferencial separável, ou seja, podemos separar as variáveis v e x para integrar. Vamos reescrever a equação:
dvdx = v^3 + v
Podemos fatorar v do lado direito:
dvdx = v(v^2 + 1)
Agora, separamos as variáveis v e x :
dvv(v^2 + 1) = dx

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor:
1v(v^2 + 1) = Av + Bv + Cv^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por v(v^2 + 1) :
1 = A(v^2 + 1) + (Bv + C)v
Comparando os coeficientes:
1 = A v^2 + A + B v^2 + C v
Isso dá o sistema:
A + B = 0 C = 0 A = 1
Resolvendo, temos A = 1 , B = -1 , e C = 0 . Então:
1v(v^2 + 1) = 1v - vv^2 + 1

Passo 5

Agora, podemos integrar ambos os lados:
integral ( 1v - vv^2 + 1 ) dv = integral dx
Integrando:
ln|v| - 12 ln|v^2 + 1| = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
ln|v| - 12 ln(v^2 + 1) = x + C
Podemos escrever isso como:
ln|v| = x + C + 12 ln(v^2 + 1)
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
2 ln|v| = 2x + 2C + ln(v^2 + 1)
Podemos reescrever 2C como uma nova constante C' :
2 ln|v| - ln(v^2 + 1) = 2x + C'
Ou, usando propriedades dos logaritmos:
ln(v^2v^2 + 1) = 2x + C'

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, vamos usar a exponenciação:
v^2v^2 + 1 = e^2x + C'
Podemos representar e^C' como uma nova constante K :
v^2v^2 + 1 = K e^2x
Agora, resolvemos para v^2 :
v^2 = K e^2x (v^2 + 1)
v^2 = K e^2x v^2 + K e^2x
v^2 (1 - K e^2x) = K e^2x
v^2 = K e^2x1 - K e^2x

Passo 8

Lembrando que v = y' , temos:
y' = raizK e^2x1 - K e^2x
Agora, integramos novamente para encontrar y :
y = integral raizK e^2x1 - K e^2x , dx + C''
Essa integral pode ser complexa e pode não ter uma solução em termos de funções elementares, dependendo do valor de K . Portanto, a solução geral fica expressa de forma implícita.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
y = integral raizK e^2x1 - K e^2x , dx + C
onde K e C são constantes de integração.

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