Resolva as equações abaixo fazendo a substituição
.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo envolvido é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente aquelas de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação, definindo
. Com isso, vamos transformar a EDO original em uma equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que a derivada de
em relação a
será
. Agora, substituímos esses na equação original:
Agora, nossa equação ficou de primeira ordem, o que é mais fácil de lidar.
Passo 3
A equação que chegamos agora é uma equação diferencial separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
para integrar. Vamos reescrever a equação:
Podemos fatorar
do lado direito:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor:
Multiplicando ambos os lados por
:
Comparando os coeficientes:
Isso dá o sistema:
Resolvendo, temos
,
, e
. Então:
Passo 5
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos escrever isso como:
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Ou, usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, vamos usar a exponenciação:
Podemos representar
como uma nova constante
:
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Essa integral pode ser complexa e pode não ter uma solução em termos de funções elementares, dependendo do valor de
. Portanto, a solução geral fica expressa de forma implícita.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde
e
são constantes de integração.