Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
a) y^prime prime+(y^prime)^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a substituição v = y' . A equação que temos é:
y'' + (y')^2 = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar substituir y' por v e simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição v = y' . Isso significa que a derivada de v em relação a x é v' = y'' . Substituindo na equação original:
v' + v^2 = 0
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de v .

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
v' = -v^2
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis v e x .

Passo 4

Separando as variáveis:
dvv^2 = -dx
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar v em termos de x .

Passo 5

Integrando os dois lados:
integral dvv^2 = -integral dx
-1v = -x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Simplificando a equação:
1v = x + C
Agora, resolvemos para v :
v = 1x + C

Passo 7

Lembrando que v = y' , substituímos de volta:
y' = 1x + C
Agora, precisamos integrar novamente para encontrar y .

Passo 8

Integrando y' em relação a x :
y = integral 1x + C dx
y = ln|x + C| + D
Onde D é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:
y = ln|x + C| + D

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