Resolva as equações abaixo fazendo a substituição
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a substituição
. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar substituir
por
e simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é
. Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Separando as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
.
Passo 5
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Simplificando a equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, precisamos integrar novamente para encontrar
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é: