O enunciado pede para calcular a integral . Esse é um problema de função racional. Como o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador se fatora em raízes lineares, vamos usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Começamos fatorando o denominador:
Passo 3
Montamos a forma geral da decomposição em frações parciais:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por , obtendo:
Passo 5
Expandindo cada termo e reunindo coeficientes:
Passo 6
Igualando coeficientes ao polinômio , formamos o sistema:
Passo 7
Da terceira equação vem A = 1. Substituindo nas duas primeiras: 1 + B + C = 1 dá B + C = 0 e B - C = 2. Somando, obtemos 2B = 2 logo B = 1 e então C = -1.
Passo 8
Logo a decomposição é
x^2 + 2x - 1x(x-1)(x+1) = 1x + 1x-1 - 1x+1
Passo 9
Agora integramos termo a termo: integral 1x,dx = ln|x|, integral 1x-1,dx = ln|x-1|, integral -1x+1,dx = -ln|x+1|