Avalie a integral.
integral x^2+2 x-1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2 + 2x - 1x^3 - x,dx. Esse é um problema de função racional. Como o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador se fatora em raízes lineares, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)

Passo 3

Montamos a forma geral da decomposição em frações parciais:
x^2 + 2x - 1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-1)(x+1), obtendo:
x^2 + 2x - 1 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)

Passo 5

Expandindo cada termo e reunindo coeficientes:
A(x^2 - 1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x) = (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A

Passo 6

Igualando coeficientes ao polinômio x^2 + 2x - 1, formamos o sistema:
A + B + C = 1 B - C = 2 -!A = -1

Passo 7

Da terceira equação vem A = 1. Substituindo nas duas primeiras: 1 + B + C = 1 B + C = 0 e B - C = 2. Somando, obtemos 2B = 2 logo B = 1 e então C = -1.

Passo 8

Logo a decomposição é
x^2 + 2x - 1x(x-1)(x+1) = 1x + 1x-1 - 1x+1

Passo 9

Agora integramos termo a termo:
integral 1x,dx = ln|x|, integral 1x-1,dx = ln|x-1|, integral -1x+1,dx = -ln|x+1|

Resposta

ln|x| + ln|x-1| - ln|x+1| + C

Exercícios relacionados