Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função x^4(x^3+x)(x^2-x+3). O tema é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e montar a forma geral da decomposição com coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Note que x^3+x = x(x^2+1) e x^2-x+3 é um quadrático irreduzível (discriminante negativo). Então o denominador fica (x)(x^2+1)(x^2-x+3)).

Passo 3

Como o grau do numerador (4) é menor que o grau do denominador (5), não precisamos fazer divisão de polinômios. Para cada fator linear simples x usamos um termo A/x. Para cada quadrático irreduzível de ordem 2 usamos um termo da forma (Bx+C) sobre esse quadrático. Assim montamos:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador completo teríamos uma identidade polinomial que, ao se igualar coeficientes de potências de x, permitiria determinar A,B,C,D,E. Mas como não precisamos dos valores numéricos, paramos aqui na forma geral da decomposição.

Resposta

x^4(x^3+x)(x^2-x+3)=x^4x(x^2+1)(x^2-x+3)=Ax+Bx+Cx^2+1+Dx+Ex^2-x+3

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