Avalie o limite ou declare que não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com limites em várias direções e possivelmente usar coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando:
. Quando
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver esse tipo de limite, uma técnica útil é transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
, onde
e
. Isso porque, em coordenadas polares, a distância ao ponto
é
, e podemos expressar tanto o numerador quanto o denominador em termos de
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição para coordenadas polares. Sabemos que
. Então, nossa expressão fica:
Agora, o limite quando
tende a 0 será o mesmo que o limite original, porque estamos apenas mudando de sistema de coordenadas.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, podemos usar a expansão de Taylor para
quando
é próximo de 0, que é:
Nesse caso,
, então:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
Agora, ao tirar o limite quando
tende a 0, todos os termos que contêm
vão para 0, restando apenas 1.