Avalie o limite ou declare que não existe.
lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com limites em várias direções e possivelmente usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando: ln(1 + x^2 + y^2)x^2 + y^2. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo 00. Para resolver esse tipo de limite, uma técnica útil é transformar as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta), onde x = r costheta e y = r sintheta. Isso porque, em coordenadas polares, a distância ao ponto (0,0) é r, e podemos expressar tanto o numerador quanto o denominador em termos de r.

Passo 3

Vamos fazer a substituição para coordenadas polares. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2. Então, nossa expressão fica:
ln(1 + r^2)r^2
Agora, o limite quando r tende a 0 será o mesmo que o limite original, porque estamos apenas mudando de sistema de coordenadas.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de ln(1 + r^2)r^2 quando r se aproxima de 0. Para isso, podemos usar a expansão de Taylor para ln(1 + u) quando u é próximo de 0, que é:
ln(1 + u) approx u - u^22 + u^33 - dots
Nesse caso, u = r^2, então:
ln(1 + r^2) approx r^2 - r^42 + r^63 - dots

Passo 5

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
ln(1 + r^2)r^2 approx r^2 - r^42 + r^63 - dotsr^2 = 1 - r^22 + r^43 - dots
Agora, ao tirar o limite quando r tende a 0, todos os termos que contêm r vão para 0, restando apenas 1.

Resposta

lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2+y^2)x^2+y^2 = 1

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